[선형대수 공부] 벡터란?

 

 

* 이 글은, 3Blue1Brown 공식 한국어 채널의 "선형대수학의 본질" 재생목록의 "벡터란?" 영상을 보고 요약한 글 입니다.

벡터란?

물리학자 : 공간 상의 한 화살표, 길이와 방향으로 정의되고 두 요소가 같으면 같은 벡터

컴퓨터 과학자: 순서가 있는 숫자 자료의 배열

수학자: 이 두 관점을 일반화. 덧셈과 상수배를 포함한 연산이 성립하면 뭐든 벡터다! 지금은 무시하자.다만, 벡터의 덧셈과 상수배가 중요한 역학을 한다는 것을 기억하기

 

벡터라고 하면 특정한 방향을 가리키는 화살표를 떠올려라.

특히, xy평면(2차원 벡터는)에서 좌표계에 있는 꼬리가 원점에 고정되어 있는 화살표를 떠올리면 된다.

선형대수학에서는 벡터가 원점에서 떨어지는 경우를 찾아 보기가 어렵다.

 

벡터행렬

벡터행렬은 일반 좌표(점) 과 구분하기 위해서 대괄호를 사용한다.

 

%% \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} %%

 

두 벡터의 합

출처: 유튜브 3Blue1Brown

 

두 벡터를 더할 때는 x 좌표는 x 좌표끼리 y좌표는 y좌표 끼리 더해주면 되는데,

머리속에서는 첫번째 벡터의 방향으로 길이 만큼 끝까지 걸어가고,

두번째 벡터의 원점을 첫번째 벡터의 끝으로 옮겨 또다시

두번째 벡터의 방향으로 길이만큼 걸어가는 것을 상상하면 된다.

 

이렇게 두번째 벡터의 원점을 첫번째 벡터의 끝에 옮긴 뒤 

첫번째 벡터의 원점과 두번째 벡터의 끝점을 이으면 두 벡터를 더한 벡터의 길이와 방향을 표현할 수 있고

이것을 삼각형법이라고 한다.

 

 

벡터의 상수배, 스케일, 스칼라

스케일이란?

벡터의 방향은 그대로 유지하고 벡터의 길이를 늘이거나 줄이거나 뒤집는 것을 스케일이라고 한다.

 

스칼라란?

벡터를 스케일 하는 상수이다.

음수면 뒤집어지고, 상수만큼 길이가 변화 된다.

 

%% 2 \times \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} %%

 

%% -1 \times \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix} %%

 

 

위에서 2와 -1 과 같은 상수가 스칼라이고, 스칼래배 하여 나온 새로운 벡터가 스케일한 벡터이다.