벡터의 생성, 선형결합, 선형독립/종속

 

 

 

기저벡터 (Basis Vector)

 

기저벡터는 좌표계에서 특수한 벡터인데,

x 축에서 0점 으로부터 양의방향으로 1 단위의 값을 가지며, i햇(%% \hat{i} %%) 또는 x 단위벡터*라 하고 좌표로 나타내면 [ 1, 0 ]이다.

y 축에서 0점 으로부터 양의방향으로 1 단위의 값을 가지며, j햇(%% \hat{j} %%) 또는 y 단위벡터*라 하고 좌표로 나타내면 [ 0, 1 ]이다.

 

이 두 벡터는 2차원 평면에서 모든 벡터를 표현할 수 있는 기본 축을 형성하며. 즉, 모든 벡터는 이 기저벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있다. (다른 방향을 가리키므로 선형 독립적이다.) 그렇다면, 선형결합과 선형독립이란 무엇일까?

 

* 단위벡터는 영어로 Unit vector 이다.

 

 

3Blue1Brown 한국어 채널, 제2장: 선형결합, 생성, 기저 벡터 ❘ 선형대수학의 본질, 1분 18초

 

 

선형결합 (Linear Combination)

 

여러 벡터를 각각 스케일하고(각 벡터에 스칼라를 곱하고)* 더하는 연산을 통해 새로운 벡터를 얻는 것을 선형결합이라고 한다. 단순히 더하는 건 벡터의 합이고 스케일하여 더하는 경우를 선형결합이라 한다.

 

*스케일과 스칼라는 지난 글에서 참고 

[선형대수 공부] 벡터란?

 

선형생성(Linear Span)*

2차원 평면을 생각해 보면, 2개의 벡터를 결합하게 되면 새로운 벡터 1개를 만들 수 있는데 두 벡터 모두 한 직선 상에 위치해 있거나 영점에 있지 않은 경우 선형결합(스케일 후 더해서)을 통해 얻을 수 있는 벡터의 집합은, 평면 그 자체이다. 이 집합을 선형 생성이라고 한다.

3차원 공간에서도 마찬가지로, 2개의 벡터를 결합하게 되면 벡터 1개를 얻을 수 있는데 선형결합을 통해 얻을 수 있는 새로운 벡터의 집합은 마찬가지로 평면이며, 벡터 3개를 결합해서 얻을 수 있는 모든 벡터의 집합은 공간을 가득 채운다. (영상을 통해 직관을 키우면 좋겠다.)

 

* 생성/span: 이건 동영상에는 없지만 생성이라고 하면 없던 것을 만들어 내는 느낌이고 만드는 대상이 어떤 건지 떠오르지 않아 조금 모호하게 느껴지는데, 영어 용어인 span이 더욱 직관적으로 이 개념을 이해하기 적합한 용어이다. span을 사전에서 찾아보면 "너비, 폭, 간격, 다양성, 일련의, ~에 걸쳐, 포괄하는" 이라는 뜻을 가진다. 모두 어떤 연속적인 대상을 나타낸다. 너비/폭은 면을 이루는 선의 연속이고, 간격은 두 대상 사이의 빈 공간의 연속이고, 일련의도 ~에 걸쳐도 연속적인 무언가 이다. 두 벡터의 스칼라 배수를 통해 생성되는 모든 가능한 벡터들의 연속적인 집합을 말하기 때문에 생성보다는 span은 직관적으로 벡터 공간을 채우는 연속적인 벡터의 집합을 떠올릴 수 있기 때문에 더 적합한 용어라고 생각한다. 

 

* 모든 벡터들이 속하는 전체 공간을 벡터공간(Vector space)이라고 하고, 선형결합으로 생성되는 모든 벡터의 집합이 이루는 공간은 부분공간(Linear Subspace)이라 한다. 선형생성이 전체 공간을 채우더라도 부분공간이다. 

 

3Blue1Brown 한국어 채널, 제2장: 선형결합, 생성, 기저 벡터 ❘ 선형대수학의 본질, 5분 31초

 

 

 

선형독립(Linear Independence) / 선형종속(Linear Dependence)

 

영상에서 "만약 벡터 모두가 각자 생성에 다른 차원을 구성한다면 그들이 선형독립적이다." 라고 표현되는데 이부분이 잘 이해가 안돼서 생각해봤다.

 

2차원(평면)에서는 두 벡터가 서로 다른 1차원(선)을 구성한다는 말이고, 다시 말해 두 벡터가 2차원 평면상의 서로 다른 직선상에 있는 경우 선형 독립적이고, 같은 차원(하나의 선위에 있거나 영점에 갇혀있다면)을 구성하는 경우 선형 종속적이다.

 

한 벡터를 다른 벡터의 스칼라 배수로 표현할 수 있다면 같은 방향을 가리키고 있기 때문에 그것은 선형 종속적이고, 배수로 표현할 수 없다면 다른 방향에 있기에 선형독립적이다.

 

선형 종속

v1 = [1, 2], v2 = [2, 4]

2 * [1, 2] = [2*1, 2*2] = [2, 4] = v2

1/2 * [2,4] = [1/2*2, 1/2*4] = [1, 2] = v1

서로 배수하여 표현할 수 있으므로 선형종속

 

선형 독립

v1 = [1, 2], v2 = [5, 1]

서로 어떤 수를 배수 하더라도 표현할 수 없으므로 선형독립

 

 

3차원(공간)에서는 벡터 세개(x, y, z)가 있다고 하면, 두 벡터의 결합이 나머지 한 벡터와 다른 차원을 구성할 때, 두벡터와 한 벡터의 관계를 선형결합으로 표현할 수 없을 때 선형독립적이고, 그렇지 않으면 선형 종속이다.

 

두벡터가 선형결합 되면 모든 새로운 벡터의 집합은 평면을 채운다. 이 때 나머지 하나의 벡터가 같은 방향을 가리킨다면 해당 평면에 갇히는 것이고, 다른 방향을 가리킨다면 나머지 한 벡터의 위치에 따라 공간을 구성하는 평면중 어떠한 평면으로든 이동할 수 있기 때문에 선형 독립적이다.